d042. Q_3_14 線性函數 (@@)

Content

有 $N$ 個線性函數 $f_{i} (x) = a_{i} x + b_{i}$ ， $1 \leq i \leq N$ 。定義 $F (x) = max_{i} f_{i} (x)$ 。

輸入 $c_{i}$ ， $1 \leq i \leq m$ ，請計算 $\sum_{i = 1}^{m} F (c_{i})$ 。

Input

第一行是 $N$ 與 $m$ 。接下來有 $N$ 行，依序每行兩個整數 $a_{i}$ 與 $b_{i}$ ，最後一行有 $m$ 個整數 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m}$ 。

每一行的相鄰數字間以空白隔開。 $N \leq 10^{5}$ ， $m \leq 5 \times 10^{4}$ ，輸入整數絕對值不超過 $10^{7}$ ，答案不超過 $10^{15}$ 。

Output

計算結果。

Sample Input #1

4 5
-1 0
1 0
-2 -3
2 -3
4 -5 -1 0 2

Sample Output #1

測資資訊：

記憶體限制： 256 MB
公開測資點#0 (20%): 1.0s , <1M
公開測資點#1 (20%): 1.0s , <1M
公開測資點#2 (20%): 1.0s , <10M
公開測資點#3 (20%): 1.0s , <10M
公開測資點#4 (20%): 1.0s , <10M

Hint ：

給 N 個線性函數(一次函數)，另外定義 F 是這些函數的最大值，現在給 m 個 x 值，要計算 F 在這些點的函數值總和，也就是對每一個 x 值，要計算這些線性函數的最大值。直接的做法全部計算取最大，總共需要O(mn)，效率不佳。請看下圖。藍線是這些線性函數，紅線就是F，他必定會形成一個(向下)凸的形狀，而且是一段一段的，每一段都是原來的某個藍線(函數)，如果我們可以找出這個紅線，計算這些函數值就沒問題了。我們需要一個觀察：若 f 與 g 是兩個線性函數，f 的斜率小於 g，那麼，在兩線的交點以前是 f 大，以後是 g 大。我們可以將這些直線根據斜率排序，然後逐一將直線加入 F 。這一題另外也有分治的演算法可以做，在後續章節中會再出現。

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ch3

出處:

Prof. Wu [管理者： ktlai (K．我已霸榜．Tlai) ]

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